线性无关组的数量与秩的相关性

1. 极大线性无关组的个数等于秩吗？
2. 秩小于n一定相关吗？
3. 如何用矩阵的秩判断向量组是否线性相关还是线性无关？
4. 矩阵的秩与向量组线性无关？
5. 向量组线性无关与秩的关系？

极大线性无关组的个数等于秩吗？

等于。

极大无关组与秩的关系：一个向量组的秩就是其极大无关组的个数，而矩阵的秩就是其列向量组的秩。所以极大无关组的向量个数等于矩阵的秩。极大线性无关组是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。

一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分, 对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩, 讨论线性方程组的基础解系等。

相等的关系，秩的一个 定义就是极大线性无关组中向量的个数

(α1^t,α2^t,α3^t,α4^t,α5^t)

2 0 14 4 6

1 2 7 2 5

3 -1 0 -1 1

0 0 3 1 2

r1-2r2,r3-3r2

0 -4 0 0 -4

1 2 7 2 5

0 -7 -21 -7 -14

0 0 3 1 2

r1*(-1/4),r3*(-1/7)

0 1 0 0 1

1 2 7 2 5

0 1 3 1 2

0 0 3 1 2

r3-r1-r4

0 1 0 0 1

1 2 7 2 5

0 0 0 0 -1

0 0 3 1 2

交换行

1 2 7 2 5

0 1 0 0 1

0 0 3 1 2

0 0 0 0 -1

α1,α2,α3,α5 是一个极大无关组, 向量组的秩为4.

秩小于n一定相关吗？

回答如下：秩小于n不一定相关。秩是一个矩阵的行向量或列向量的极大线性无关组的个数，而相关性是指向量之间的线性关系。秩小于n只表示向量组中的向量个数小于矩阵的列数或行数，但并不表示这些向量之间一定存在线性关系。因此，秩小于n不一定意味着相关性。

是的，秩小于n的矩阵一定相关。如果一个矩阵的秩小于n，那么它最多只能由n-1个向量线性表出，也就是说，它的列向量之间存在相关性，因此该矩阵的列向量也是相关的向量组。

如何用矩阵的秩判断向量组是否线性相关还是线性无关？

如果你指的是n个n维向量组成的n阶方阵，则结论是正确的。但如果向量的个数与向量的维数不一致，则说法要改一改。因为这时矩阵有列满秩和行满秩之分。向量组组成的矩阵列满秩则列向量组之间线性无关,降秩则线性相关。若向量组组成的矩阵行满秩则列向量组之间未必线性无关。

矩阵的秩与向量组线性无关？

如果你指的是n个n维向量组成的n阶方阵，则结论是正确的。但如果向量的个数与向量的维数不一致，则说法要改一改。因为这时矩阵有列满秩和行满秩之分。向量组组成的矩阵列满秩则列向量组之间线性无关,降秩则线性相关。若向量组组成的矩阵行满秩则列向量组之间未必线性无关。

向量组线性无关与秩的关系？

向量组线性无关与秩的关系：如果一个矩阵行向量线性无关，那么这个矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数或者列数，对于一个向量组来说，向量组线性无关的充分必要条件是这个向量组的秩等于向量个数

向量线性无关，那么这个矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数或者列数，对于一个向量组来说，向量组线性无关的充分必要条件是这个向量组的秩等于向量个数。

如果齐次线性方程组Ax=0有k个线性无关的解，那么基础解系所含向量的个数n-r(A)>=k，即有 r(A)。

扩展资料：

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于未知数的数目，则方程有唯一解。如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。

m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，类似的，否则矩阵是秩不足的。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目