向量的线性无关性与正交性的关联线性无关的向量一定是正交向量

作者：admin 时间：2023-12-25 10:56:01 阅读数：26人阅读

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正交向量组｛α1，α2，……。αn｝指每个αi≠0，当i≠j时：（αi，αj）＝0（数积）。假如向量组｛α1，α2，……。αn｝线性相关。则从“相关可表等价定理”，必有一个向量可以表示成，其余向量的线性组合。

是的，向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关。因为以a，b，c，d列向量组成的矩阵是3行4列的，秩至多是3＜4＝向量个数，所以向量组线性相关。

R可以由S线性表出，等于就是用其中的一个向量来表示，那么它的向量也都成比例，所以线性相关。那么就要考虑S={b1，b2}线性无关的情况。

行列式判别法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的行列式。如果行列式的值为0，则向量组线性相关；如果行列式的值不为0，则向量组线性无关。

把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。

判断线性无关的方法：线性组合法、行列式法。线性无关是指向量组中的向量不能通过线性组合得到零向量的性质。

计算行列式如果行列式等于零，则向量组线性相关，否则线性无关。计算特征值和特征向量如果特征值均不为零，则向量组线性无关，否则线性相关。

1、正交向量组｛α1，α2，……。αn｝指①每个αi≠0. ②i≠j时：（αi，αj）＝0（数积）假如向量组｛α1，α2，……。αn｝线性相关。则从“相关可表等价定理”，必有一个向量可以表示成其余向量的线性组合。

2、如果三个向量都在一条直线上，那么它们是线性相关的。如果它们不共线，那么它们是线性无关的。如果增加向量的个数，不改变向量的相关性，那么这些向量是线性相关的。

3、在向量空间V的一组向量A：a1，a2，...am，如果存在不全为零的数 k1， k2， ···，km ，使则称向量组A是线性相关的，否则数 k1， k2， ···，km全为0时，称它是线性无关。

向量组的线性相关性是：向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。

向量的线性无关性与正交性的关联线性无关的向量一定是正交向量

判断向量组线性相关的方法有：行列式判别法、向量线性表示法、齐次线性方程组法、秩的判定法。行列式判别法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的行列式。

关于向量组线性相关的性质如下：对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。

1、一定。设a，b是两个非零的正交向量，则ab=0 若存在k1，k2 使得k1a+k2b=0 则0=(k1a+k2b)a=k1a^2+k2ab=k1a^2 得k1=0 0=(k1a+k2b)b=k2b^2+k1ab=k2b^2 得k2=0 所以 a，b线性无关。

向量的线性无关性与正交性的关联线性无关的向量一定是正交向量

2、是的，正交与线性无关。先举例说明线性无关为什么不一定正交，如向量x=(1， 1)， y=(1， 0) 两者明显线性无关，但是x·y≠0。直观地可以这么理解，线性相关可以看成平面上平行的直线，线性无关就是两相交直线。

3、不正确。因为不含零向量的正交向量组必线性无关，含零向量的任何向量组都线性相关。正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

4、证明：设p[1]，...，p[n]是正交向量组。假设p[1]，...，p[n]线性相关，则存在不全为0的实数k[1]，...，k[n]使 k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。

5、a1，a..an是非零正交向量，那么k1a1+k2a2+...+knan=0，两边先成一向量a1的转置矩阵，那么这个式子变为k1a1(a1的转置），因为a1(a1的转置）大于0，所以K1等于0，同理K2，Kn都等于0，所以线性无关。

向量的线性无关性与正交性的关联线性无关的向量一定是正交向量

6、通过解方程组来进行判断：对于线性方程组，可以使用消元法或者高斯消元法解出未知量，若得到的解是唯一的，则向量组线性无关，否则线性相关。